Sayı sistemleri

• Onlu sayı sistemi
• İkili sayı sistemi
• Sekizli sayı sistemi
• Onaltılı sayı sistemi
• Onlu sayı sistemindeki bir sayıyı diğer sayı sistemlerinden birine çevirme
• Hesaplama tablosu

Bilgisayar ve bilgisayar programlama dillerinde dört farklı sayı sistemi kullanılmaktadır:

Sayı sistemlerini ifade eden değerler, söz konusu sayı sisteminde kullanılan rakam sayısını göstermektedir. Örneğin, sekizli sayısı sistemi, bu sistemde 8 adet rakam kullanıldığını ifade etmektedir.

Sayı sistemlerinde kullanılan rakamlar aşağıda gösterilmektedir:

İkili (Binary) Sayı Sistemi          :  0  1

Sekizli (Octal) Sayı Sistemi         :  0  1  2  3  4  5  6  7

Onlu (Decimal) Sayı Sistemi          :  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 

Onaltılı (Hexadecimal) Sayı Sistemi  :  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  A  B  C  D  E  F 

Onlu sayı sistemi

Günlük hayatımızda en çok kullandığımız sayı sistemi olup, bütün işlemler aşağıda gösterilen 10 adet rakam ile gerçekleştirilir:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Onlu sayı sisteminde rakamlarla gösterilen bir sayının elde edilişini 4753 sayısı üzerinden incelemeye çalışalım:

4 . 10 3 + 7 . 10 2 + 5 . 10 1 + 3 . 10 0 = 4. 1000 + 7. 100 + 5. 10 + 3. 1

=  4000 + 700 + 50 + 3  =  4753  

Her basamakta yer alan rakam 10 (mavi renkle gösterilen) sayısının katları (bg-orangecu renkle gösterilen değerde) ile çarpılır. En sağda yer alan 10 sayısının katı 0 ile başlar ve sol tarafa doğru birer birer artar. Elde edilen değerler toplanarak sayı elde edillir.

İkili sayı sistemi

Bilgisayarlar elektronik devrelerden oluştuğundan ikili (binary) sayı sistemini kullanırlar. Bütün işlemler aşağıda gösterilen 2 adet rakam ile gerçekleştirilir:

0, 1

Bu rakamlar elektronik devrelerde 0 için yalnış 1 için doğru anlamına gelir.

11011001 ikili sistem sayısının onlu sayı sisteminde 217 olan karşılığının elde edilmesini incelemeye çalışalım:

Şimdi ikili sistem sayılarında sayının - ya da + değeri alma durumunu incelemeye çalışalım:

Eğer işaret bit'i 0 ise zaten sayının negatif olma durumu söz konusu değildir. Sayı 0 - 127 arasında pozitif bir değer alır.

İşin ilginç yanı işaret bit'i 1 değeri aldığında başlar. Artık o sayı hem pozitif hem de negatif bir değer olabilir. Yukarıda görüldüğü gibi, -127 ve 128 sayıları ikili sayı sisteminde aynı değerlerle ifade edilmektedir. Örnek üzerinde incelemeye çalışalım:

İkili sayı sisteminde negatif ve pozitif sayıları birbirine çevirmek için önce sayının bütün basamakları tersine çevrilir (0 ise 1, 1 ise 0 yapılır), sonra elde edilen değere 1 eklenir. Yine -21 sayısı üzerinde bu işlemi gerçekleştirerek kuralı incelemeye çalışalım:

Bahsi geçen kuralları sadece 8 bit'lik sayılar üzerinde uyguladık. Aynı kurallar 16 ve 32 bit'lik sayılar içinde geçerlidir.

Klavyeden girilecek int değerleri ikili sayı sisteminde ekrana yazdırmak için aşağıdaki programı kullanabiliriz:

#include <stdio.h>

void IntToBin(int val);

int main(void)
{
  int id;

  printf("İkili sayı sisteminde gösterilecek int bir değer giriniz: ");
  scanf("%d", &id);

  IntToBin(id);

  return 0;
}

void IntToBin(int val)
{
  char cdizi[100];
  int bitsayi = sizeof(val) * 8;
  unsigned int u = *(unsigned int*)&val;
  unsigned int mask = 1 << (bitsayi-1);
  int id;

  for (id=0; id<bitsayi; id++, mask >>= 1) {
      cdizi[id] = (u & mask) ? '1' : '0';
  }
  cdizi[id] = '\0';
  printf("%d: %s\n", val, cdizi);
}

Sekizli sayı sistemi

Bu sayı sisteminde aşağıda gösterilen 8 adet rakam ile gerçekleştirilir:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Sekizli sayı sistemindeki 4753 sayısının onlu sayı sistemine çevrilişini örnek üzerinden incelemeye çalışalım:

Her basamakta yer alan rakam 8 (mavi renkle gösterilen) sayısının katları (bg-orangecu renkle gösterilen değerde) ile çarpılır. En sağda yer alan 8 sayısının katı 0 ile başlar ve sol tarafa doğru birer birer artar. Elde edilen değerler toplanarak sayı elde edillir.

Onaltılı sayı sistemi

Bu sayı sisteminde aşağıda gösterilen 16 adet ifade kullanılır. Diğer sayı sistemlerinden farkı rakamların yanısıra harf kullanılmasıdır. Bilgisayarda ikili sistem sayılarının daha pratik ve kısa bir şekilde kullanılması için tercih edilir:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Sayı Sistemi

Onlu       0    1    2    3    4    5    6    7    8    9    10   11   12   13   14   15   

Onaltılı   0    1    2    3    4    5    6    7    8    9    A    B    C    D    E    F

İkili     0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Onaltılı sayı sistemindeki 1AD4 sayısının onlu sayı sistemine çevrilişini örnek üzerinden incelemeye çalışalım:

1AD4  =  1 . 163  +  A . 162  +   D . 161  +  4 . 160   

      =  1 . 4096  +  A . 256  +   D . 16  +  4 . 1

      =  1 . 4096  +  10 . 256  +  13 . 16  +  4 . 1
	  
      =  4096 + 2560 + 208 + 4  =  6868

Her basamakta yer alan rakam 16 (mavi renkle gösterilen) sayısının katları (bg-orangecu renkle gösterilen değerde) ile çarpılır. En sağda yer alan 16 sayısının katı 0 ile başlar ve sol tarafa doğru birer birer artar. Elde edilen değerler toplanarak sayı elde edillir.

Yukarıdaki tablodan da görülebileceği gibi onaltılık sayı sisteminde yer alan rakamlar ikili sayı sistemine göre 4 bit ile gösterildiğinden, bu iki sayı sistemi rasında sayıları birbirine çevirmek oldukça pratiktir. Bir örnek üzerinde incelemeye çalışalım:

1    A    D    4           (Onaltılık sayı sisteminde)

0001 1010 1011 0100        (İkilik sayı sisteminde)

Onlu sayı sistemindeki bir sayıyı diğer sayı sistemlerinden birine çevirme

Onlu sayı sistemindeki bir sayıyı diğer sayı sistemlerinden birine çevirmek için, elimizdeki sayıyı çevirmek istediğimiz sayı sisteminin taban değerine, işlem sonrası elde ettiğimiz sonuçları, sonuç 0 olana kadar böleriz. Bölme işlemleri sonrasında elde edilen kalan değerleri ters olarak dizildiğinde elimizdeki onlu sistem sayısı söz konusu sayı sistemine çevrilmiş olur.

Şimdi, 1754 onlu sistem sayısını onaltılı sayı sistemineki çevirmeye çalışalım:

Sayı            Sonuç           Kalan                 Elde edilen sayı

1754 / 16        109              10    ---->  A

 109 / 16          6              13    ---->  D            6DA

   6 / 16          0               6    ---->  6

Onluk sayı sistemindeki bir sayıyı ikili sayı sistemine çevirme

Onluk sayı sistemindeki 217 sayısını ikili sayı sistemine çevirme işlemini gösteren şema aşağıdadır:

Hesaplama tablosu

Aşağıdaki tabloda değer sütununda herhangi bir sayı sisteminde girilen sayı diğer sayı sistemlerine göre çevrilerek yazılmaktadır. Sayılar ikili sayı sistemine göre 32 bit ile sınırlıdır.